Phương trình mũ [Lần 1]

Bài 1: Giải phương trình :$${{2}^{3x}}-{{6.2}^{x}}-\frac{1}{{{2}^{3(x-1)}}}+\frac{12}{{{2}^{x}}}=1$$

Ta viết lại phương trình như sau:
${{2}^{3x}}-\dfrac{8}{{{2}^{3x}}}-{{6.2}^{x}}+\dfrac{12}{{{2}^{x}}}=1\Leftrightarrow(2^x)^3-(\dfrac{2}{2^x})^3-6\left(2^x-\dfrac{2}{2^x} \right)=1$hay $(2^x-\dfrac{2}{2^x})^3=1\Leftrightarrow 2^x-\dfrac{2}{2^x}=1 $.
Đặt $2^x=t>0$ ta được phương trình $t^2-t-2=0$ giải ra được $t=2$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$

Bài 2: Tìm $m$ để phương trình $$\left( \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^{x}+m\left( \dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^{x}=8$$ có nghiệm

Bài toán này mình gợi ý cách giải dựa trên phân tích sau :
[*] Các bạn hãy để ý tới điều đặc biệt sau : $$\left( \dfrac{7+3 \sqrt 5}{2} \right)^x . \left(\dfrac{7-3 \sqrt 5}{2} \right)^x =1$$
[*] Từ đó dẫn đến việc chúng ta nghỉ đến ẩn phụ ngay.Cụ thể đặt:$$ t= \left( \dfrac{7+3 \sqrt 5}{2} \right)^x  \ , \ t>0 \Rightarrow \left(\dfrac{7-3 \sqrt 5}{2} \right)^x =\dfrac{1}{t}$$
[*] Khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình :$$ t +\dfrac{m}{t} =8  \Leftrightarrow 8t-t^2 =m$$
[*] Đưa bài toán ban đầu về " bài toán tương giao của hai đồ thị " .
Xét hàm số $ y =f(t) =8t -t^2  \ , \ t>0$.
Tính đạo hàm ,giải phương trình đạo hàm rồi lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên ta sẽ tìm được các giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đơn giản ( các bạn tự giải tiếp)

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực thuộc $\left[ 0 \ ;\ 1 \right]$ :  $$4^{1+x}+4^{1-x}=(m+1)(2^{2+x}-2^{2-x})+2m$$

Phân tích và hướng dẫn .
Ở bài toán này nếu tinh ý một chút ta sẽ nhận thấy một điều làm nên mấu chốt của bài toán đó là :$$ 2^{2+x}-2^{2-x}=2 \left(2^{1+x}-2^{1-x} \right) \ ; \ \left(2^{1+x}-2^{1-x} \right)^2=4^{1+x}+4^{1-x}-8$$
Từ đó ta dẫn bài toán về hướng đặt ẩn phụ. Rồi "cô lập" bài toán về dạng $$f(x)=f(m)$$
Đi đến khảo sát hàm số $y=f(x)$ và sử dụng "sự tương giao giữa hai đồ thị " là xem như bài toán được giải quyết. Chú ý điều kiện cho ẩn phụ.
[b]Hướng giải[/b]
Phương trình đã cho được biến đổi thành phương trình:$$4^{1+x}+4^{1-x}=(m+1)2\left(2^{1+x}-2^{1-x} \right)+2m \quad (1)$$
Đặt $ \ t= 2^{1+x}-2^{1-x} , \forall t \in \left[0 \ ; \ 4 \right]$[hint] Khảo sát hàm số t trên $[0 \ ; \ 1]$[/hint]

Khi đó ta có : $ \ t^2-8= 4^{1+x}+4^{1-x}$

Lúc đó phương trình $(1)$ trở thành :$$ t^2-8=2(m+1)t+2m \Leftrightarrow \dfrac{t^2-2t-8}{t+1}=2m$$
Tới đây xét hàm số $\ y=f(t) =  \dfrac{t^2-2t-8}{t+1} , \ \forall t \in \left[0 \ ; \ 4 \right]$.

Lập bảng biên thiên suy ra các giá trị của $m$.Mình tin các bạn sẽ làm tốt.

Bài 4:  Tìm nghiệm dương của phương trình: 

$$100^x + 250^x = 40^x + 6.(25^x - 4^x)^2$$

Phương trình đã cho được viết lại như sau: $100^x+10^x(25^x-4^x)-6((25^x - 4^x)^2=0$

Đặt $ a=25^x-4^x; \ b=10^x; \ a >0; \ b>0$ ta có phương trình sau:  $b^2+ab-6a^2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{1} b=2a \\ b=-3a \end{array}\right.$

TH 1: $b=-3a$ loại do $ \ a, \ b>0$

TH 2: $b=2a$ ta có phương trình sau: $10^x=3(25^x-4^x)$. Chia 2 vế phương trình cho $ 25^x$ ta được: $3\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2x}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x}-3=0$

Giải phương trình ta có: $\left[ \begin{array}{1} \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x}=\dfrac{-1-\sqrt{37}}{6} \ (L) \\ \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x}=\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6} \ (TM)\end{array}\right.$$\Rightarrow x=log_{\dfrac{2}{5}}\left(\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6}\right)$

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: $ x=log_{\dfrac{2}{5}}\left(\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6}\right)$

Bài 5:  Cho phương trình $2^{2-2x}-\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{x-1}+m+2=0$.

Tìm $m$ sao cho phương trình có nghiệm duy nhất trong đoạn $[0;1]$

Giải
$$ \Leftrightarrow {2^{2 - 2x}} - {2^{1 - x}} + m + 2 = 0$$
Với $$x \in [0;1] \Rightarrow 0 \le 1 - x \le 1 \Rightarrow 1 \le {2^{1 - x}} \le 2$$
Đặt :${2^{1 - x}} = t;t \in [1;2]$
Pt trở thành ${t^2} - t + m + 2 = 0$
pt có nghiệm khi $\Delta  =  - 7 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 7}}{4}$
Yêu cầu bài toán tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}
f(1) \geq 0\\
f(2) \le0
\end{array} \right.$hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
f(2) \geq 0\\
f(1) \le 0
\end{array} \right.$
 Kết hợp lại ta có $- 4 \le m \le  - 2$

Bài 6: Định $m$ để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: $$(m+3) {16}^{x}+ (2m-1){4}^{x} + m+1 = 0 $$

Phân tích và hướng giải
Ở bài toán này ta thấy ngay việc đặt ẩn phụ giải là ý tưởng tốt nhất. Nhưng đứng trước hoàn cảnh đòi hỏi là phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì ta nên đi phân tích một chút điều kiện bài toán.
Đặt $\ t =4^x \ , \ t >0$. Khi đó nếu ta đặt ra hai nghiệm của phương trình đã cho là $\ x_1 \ , \ x_2$ thì buộc lòng điều kiện hai nghiệm này là $\ x_1 < 0 < x_2$. Với ràng buộc này ta đi đến điều kiện mới của ẩn phụ được tạo thành bằng phép toán $\ 4^{x_1}< 4^0 < 4^{x_2} \Leftrightarrow t_1<1<t_2$. Nhưng vậy là để phương trình đã cho ban đầu có hai nghiệm trái dấu thì phương trình theo ẩn phụ mới buộc phải có hai nghiệm phân biệt $\ t_1 \ ; \ t_2$ phải thỏa điều kiện $\ t_1<1<t_2$.
Nhưng hiện nay trong chương trình phổ thông không còn được phép dùng cách so sánh nghiệm của tam thức bậc hai nên để tránh điều phạm quy tắc này ta làm sao đây khi mà điều kiện ràng buộc này nó mang sắc thái đường nét quá rõ về dấu tam thức bậc hai. Vậy đứng trước vấn đề này ta nên làm sao đây?
Bình tĩnh lại một chút ta biến đổi điều kiện ràng buộc mới là $$t_1 <1<t_2 \Leftrightarrow t_1 -1 < 0 < t_2-1 \Leftrightarrow u_1<0<u_2 \ \mbox{với} \ u =t-1$$
Vậy rõ ràng rằng với phép biến đổi này ta lại đưa về phương trình được biến đổi theo ẩn $\ t$ thành phương trình mới ẩn $\ u$ mà điều kiện yêu cầu nghiệm quá cơ bản là $\ u_1 <0<u_2 \Leftrightarrow P<0$
Bây giờ ta đi vào bài toán một cách cụ thể.
Đặt $t = 4^x \ , \ t >0$. Lúc đó phương trình đã cho trở thành :$$(m+3)t^2+(2m-1)t+m+1=0 \quad (1)$$
Gọi $\ x_1 \ ; \ x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho khi đó theo điều kiện giả thiết ta có $\ x_1 <0<x_2$.  Từ $\ x_1 <0<x_2 \Leftrightarrow  4^{x_1}< 4^0 <4^{x_2} \Leftrightarrow  t_1 <1<t_2$
Mặt khác từ điều kiện $\ t_1 <1<t_2 \Leftrightarrow t_1-1< 0<t_2-1 \Leftrightarrow u_1<0<u_2 \ \mbox{với} \ u =t-1 \Leftrightarrow t= u+1$
Lúc này phương trình $\ (1)$ trở thành phương trình :$$(m+3)(u+1)^2+(2m-1)(u+1)+m+1=0 \Leftrightarrow (m+3)u^2 +(4m+5)u +4m+3 =0 \quad (2)$$
Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm $\ x_1 \ ; \ x_2 \ \mbox{thỏa} \  x_1 <0<x_2$  tương đương phương trình $\ (1)$ phải có hai nghiệm $$\ t_1 \ ; \ t_2 \ \mbox{thỏa} \  \ t_1 <1<t_2$$ tương đương với phương trình $\ (3)$ phải có hai nghiệm$$\ u_1 \ ; \ u_2 \ \mbox{thỏa}\  u_1<0<u_2 \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow (m+3)(4m+3)<0 \Leftrightarrow -3 < m< \dfrac{-3}{4}$$

Bài 7: Giải các phương trình sau đây:          

$2^x-x=1$

, Xét hàm số: $$f(x)=2^x-x$$
Ta có: $$f'(x)=2^x \ln 2-1 $$
$$f''(x)=2^x \ln^2 2>0$$
Suy ra: $f'(x)=0$, có không quá 1 nghiệm, suy ra: $f(x)=0$ có không quá 2 nghiệm. (Điều này có thể thấy rõ khi ta lập bảng biến thiên).
Ma ta lại thấy: $x=0; x=1  \,\ $ thỏa mãn phương trình nên:  $x=0; x=1 \,\ $  là nghiệm của phương trình.

Bài 8: Giải các phương trình sau đây:    $3^x+8^x=4^x+7^x$

Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng:
$$8^x-7^x=4^x-3^x$$
Giả sử phương trình có nghiệm là:$a$.
Xét hàm số:$$f(t)=(t+1)^a-t^a ;( t >0)$$
Từ đó ta có:$f(7)=f(3)$, do đó theo định lí Lagrange tồn tại $c \in (4;3)$ sao cho: $$f'(c)=0 \Leftrightarrow a[(t+1)^{a-1}-t^{a-1}]=0 \Leftrightarrow a=0 ; a=1$$
Ta thấy $x=0; x=1$ đều thỏa mãn nên là  hai nghiệm của phương trình.
Cách khác 









Theo quan điểm cá nhân thì anh thấy hai bài này phù hợp mà em:), đối với bài toán đầu tiên thì lời giải rất ổn rồi, anh xin góp ý bài thứ hai thế này:
Ta viết phương trình này thành:
$$8^x-7^x=4^x-3^x$$
Giả sử phương trình có nghiệm $x=a$.Từ phương trình trên ta có: $f(7)=f(3)$ với $f(t)=(t+1)^a-t^a, t>0$
Ta có:
$$f'(t)=a[(t+1)^{a-1}-t^{a-1}]$$
Bây giờ ta đi xét các trường hợp sau:
1.$a<0$ hoặc $a>1$.Lúc đó dễ thấy $f'(t)>0$ suy ra $f(t)$ là hàm số đồng biến nên $f(7)>f(3)$, mâu thuẫn!
2.$0<a<1$.Lúc đó dễ thấy $f'(t)<0$ suy ra $f(t)$ là hàm số nghịch biến nên $f(7)<f(3)$, mâu thuẫn!
Như thế ta phải có $a=0, a=1$.Thử lại thỏa mãn!
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0, x=1$

Bài 9: Chứng minh rằng phương trình $$x^{x+1} = (x+1)^x$$ có một nghiệm dương duy nhất.

Phân tích và hướng giải[/b]
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho dẫn đến cho ta điều kiện của bài toán là $\ x >0$.
Với phương trình mũ mà bài toán cho ta thì ta sẽ ngay đến phương pháp logarit hóa ngay.Cụ thể :$$x^{x+1}=(x+1)^x \Leftrightarrow \ln x^{x+1}= \ln (x+1)^x \Leftrightarrow (x+1)\ln x - x \ln (x+1)=0$$
Nếu dùng cách giải thông thường cho bài toán này thì sẽ gặp khó khăn nên ta sẽ chuyển bài toán về phương pháp " sử dụng tính đơn điệu" để giải.
Xét hàm số :$$y=f(x)=(x+1)\ln x -x \ln (x+1)\ , \quad x > 0$$
Ta có : $$f'(x) = \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x+1} - \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right) $$
Mặt khác ta có : $$ \dfrac{1}{x} - \ln \left(1 + \dfrac{1}{x} \right) > 0 \ , \quad x >0$$
Thật vậy. Xét hàm số : $$y =g(t) = t - \ln (1+t)  \ , \quad t >0 \mbox{ với} \ t = \dfrac{1}{x}$$
Ta có : $$g'(t) = 1 - \dfrac{1}{1+t} = \dfrac{t}{1+t} > 0\ , \quad t > 0$$
Vậy hàm số $\ y =g(t)$  là hàm số đồng biến với $\ t > 0$
Do đó ta có : $$ g(t) > g(0) \Leftrightarrow t - \ln (1+t) >0 \ , \quad t>0$$
Lúc đó ta có : $$f'(x) > \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1+x}>0$$
Vậy hàm số $y=f(x)$  là hàm số đồng biến với $x >0$ nên phương trình $f(x) =0$ nếu có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất
Lại có hàm số $\ y =f(x)$  là hàm số liên tục với $ x >0$
Mặt khác : $$f(2)=\ln \dfrac{8}{9}< 0 \ , \ f(3) = \ln \dfrac{81}{64} >0$$
Suy ra $\ f(2).f(3) <0$ . Nên phương trình $\ f(x)=0$  có nghiệm duy nhất $\ x_0 \in  \left(2 \ ; \ 3 \right)$  và dể thấy đây là nghiệm dương duy nhất
Vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 10:Giải phương trình : $${{4}^{2x+\sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}}}={{4}^{2+\sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}+4x-4}}$$

Hướng giải
ĐK $x\ge-2$
Viết phương trình thành :
$$16^x.4^{\sqrt{x+2}}+2^{x^3}=16.4^{\sqrt{x+2}}+2^{x^3+4x-4}$$
Phương trình tương đương với
$$16.4^{\sqrt{x+2}}(16^{x-1}-1)=2^{x^3}(16^{x-1}-1) \Leftrightarrow (16^{x-1}-1)(16.4^{\sqrt{x+2}}-2^{x^3})=0$$