Phương trình mũ [Lần 3]

Bài 1. Giải phuơng trình$$(26 + 15\sqrt{3})^x - 3(7 + 4\sqrt{3})^x - 2(2 + \sqrt{3})^x +(2   - \sqrt{3})^x  = 3$$

Để ý rằng $26+15\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^3,\, 7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2$ và $2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}.$ Do đó, nếu đặt $t=\left(2+\sqrt{3}\right)^x$ thì ta có thể viết lại phương trình đã cho dưới dạng $$t^3-3t^2-2t+\frac{1}{t}=3,$$ tức $$t^4-3t^3-2t^2-3t+1=0.$$ Đây là phương trình hồi quy bậc $4$ nên ta có thể giải bằng cách chia hai vế cho $t^2$ rồi đặt ẩn phụ $u=t+\frac{1}{t}.$ Ngoài cách này, ta cũng có thể giải trực tiếp bằng phân tích nhân tử. Ta có phương trình ở trên tương đương với $$(t^2+t+1)(t^2-4t+1)=0.$$ Do $t>0$ nên ta có $t^2-4t+1=0,$ tức $$t=2+\sqrt{3} \vee t=2-\sqrt{3}.$$
Từ đây, bằng cách suy ngược lại theo $x,$ ta có $x=1$ hoặc $x=-1.$ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=1$ và $x=-1. $

Bài 2. Giải phương trình: ${3}^{x} = x + \sqrt{{x}^{2} + 1}$

Ta biến đổi phương trình đã cho thành : $\ \ln \left(x + \sqrt{x^2+1} \right) - x\ln 3.$
Xét hàm số $\ y = f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2+1} \right) - x\ln 3$ trên $\mathbb R.$
Ta có : $\ f'(x)= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} - \ln 3 <0.$ Suy ra hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb R.$ Do đó phương trình $f(x)=0$ có không quá một nghiệm.
Mà ta có $\ f(0)=0 \Rightarrow x=0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 3. Giải phương trình:$$25^x-2(3-x)5^x+2x-7=0$$

Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai theo ẩn $5^x$. Phương trình này có biệt số $$\Delta' = (3-x)^2 - (2x-7)=(x-4)^2$$Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt :$\left[\begin{matrix} 5^x = 3-x+x-4 =-1 \quad \mbox{(vô nghiệm)} \\ 5^x =3-x -x +4 =7 -2x \end{matrix} \right.$
Đối với phương trình : $5^x =7-2x$ không khó để nhận thấy phương trình này có nghiệm duy nhất $x=1$

Bài 4. Giải phương trình: $ 2^{3x} + 3^{\textstyle \frac{2}{x}} = 17 $

Xét f(x) = ${2}^{3x} + 3^{\textstyle\frac{2}{x}}$
Dễ dàng chứng minh được $f''(x) > 0$, do đó $f(x) = 0$ có tối đa 2 nghiệm
Lại có $f(1) = f({\log}_{8}9) = 17$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $1$ và ${\log}_{8}9$

Bài 5. Giải phương trình: $$\log_2 \frac{4^x-2^x+1}{2.16^x-2.4^x+1}=2^x(2.8^x-3.2^x+1)$$

Đặt:
$a=4^x-2^x+1$ (ĐK: a>0)
$b=2.16^x-2.4^x+1$ (ĐK: b>0)
Vậy:
$$PT \Longleftrightarrow \log_2 \left(\dfrac{a}{b}\right)=b-a$$$$\Longleftrightarrow \log_2 a+a=\log_2 b+b(1)$$
-Xét hàm số: $f(x)=\log_2 x+x$ Với x>0
Ta có:
$f'(x)=\dfrac{1}{x.\ln 2}+1 >0$ với mọi x>0
$\Rightarrow f(x)$ đống biến trên $(0,+\infty)$
-Nên:
$$(1) \Longleftrightarrow a=b $$$$\Longleftrightarrow4^x-2^x+1=2.16^x-2.4^x+1$$$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^x = 1 \\ 2^x = \dfrac{1}{2} \\ 2^x=0 (L)\end{array} \right. $$$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = -1  \end{array} \right. $$