Phương trình mũ [Lần 2]

Bài 1. Giải phương trình: $${4}^{x}+{4}^{\frac{1}{x}}=18$$

Với $x <0$ thì phương trình đã cho không thể có nghiệm trên miền đó .
Xét với $x>0$ : $f(x)=4^x+4^\frac{1}{x}$ ta có :
+) $f'(x)=\ln4\left(4^x-\dfrac{4^{\frac{1}{x}}}{x^2}\right)$
+) $f''(x)=4^x\ln^24+\dfrac{4^{\frac{1}{x}}\ln4}{x^4}+\dfrac{2^{\frac{x+2}{x}}}{x^3}>0$
Vậy phương trình đã cho có tối đa hai nghiệm trên miền $(0;+\infty)$.
Dễ thấy $f(2)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=18$.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : $\left[\begin{array} x=2\\x=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

Bài 2. Giải phương trình: $$4^x+5^x=3^x+6^x$$

Phương trình đã cho tương đương với:
\[\begin{array}{l}
 f\left( x \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} - {2^x} = 1 \\
 f'\left( x \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x}.\ln \frac{4}{3} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x}.\ln \frac{5}{3} - {2^x}.\ln 2 \\
 f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.\ln \frac{4}{3} + {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x}.\ln \frac{5}{3} = \ln 2 \\
 g'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.\ln \frac{4}{3}.\ln \frac{2}{3} + {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x}.\ln \frac{5}{3}.\ln \frac{5}{6} < 0,\,\,\forall x \in R. \\
 \end{array}\]
Suy ra phương trình $\ f'(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm, dẫn đến phương trình $\ f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm, mà ta thấy $\ x=0$ và $\ x=1$ là hai nghiệm của phương trình $\ f(x)=0.$
Do đó phương trình đã cho có các nghiệm là $\ x=0 ; x=1$.

Bài 3. Giải phương trình: $$\sqrt{{{2}^{{{x}^{2}}+2x-10}}}={{\left( \sqrt{33+\sqrt{128}}-1 \right)}^{x}}$$

Phương trình đã cho tương đương:
$$2^{\frac{x^2}{2}+x-5}=(4\sqrt{2})^x
\Leftrightarrow 2^{\frac{x^2}{2}+x-5}=2^{\frac{5x}{2}}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{2}+x-5=\dfrac{5x}{2}
\Leftrightarrow x^2-3x-10=0
\Leftrightarrow x=5;x=-2 $$

Bài 4. Giải phương trình: $$ 3^x+3^{\frac{1}{x}}=\frac{78}{9-\sqrt{3}} $$

Ta có thể viết phương trình thành : $$3^x+3^{\textstyle \frac{1}{x}}=3+\sqrt{3}$$Nhận xét rằng khi : $x<0$ thì $3^x+3^{\textstyle \frac{1}{x}}<2<3+\sqrt{3}.$ Suy ra phương trình vô nghiệm
Vậy ta chỉ xét $x>0.$ Xét hàm số : $f(x)=3^x+3^{\textstyle \frac{1}{x}},\ x>0.$
Ta có $$f'(x)=3^x\ln 3-\frac{1}{x^2}\cdot3^{\textstyle\frac{1}{x}}\ln 3,\ f''(x)=3^x\ln^2 3+\frac{2}{x^3}\cdot3^{\textstyle \frac{1}{x}}\ln 3+\frac{1}{x^4}\cdot3^{\textstyle \frac{1}{x}}\ln^2 3>0,\ \forall x>0$$Từ đây bằng cách lập bảng biến thiên, ta chỉ được rằng phương trình $f(x)=3+\sqrt{3}$ có nhiều nhất 2 nghiệm.
Nhận xét $x=2, x=\frac{1}{2}$ thỏa mãn phương trình nên đi đến kết luận phương trình chỉ có hai nghiệm như trên.

Bài 5. Giải phương trình $$4.{2}^{3x}-3.{2}^{x}=\sqrt{1-{2}^{2x+2}+{2}^{4x+2}}$$

Phương trình đã cho tương đương $$16.2^{6x}+9.2^{2x}-24.2^{4x}=1-4.2^{2x}+4.2^{4x} \ ( * ) $$
Đặt $t=2^{2x}$ với $t>0$ ta có
$$ ( * ) \Leftrightarrow 16t^3-18t^2+13t-1=0 \Leftrightarrow (t-1)(16t^2-12t+1)=0$$