Processing math: 2%

Thực hành để thành công


Thứ Tư, 24 tháng 10, 2012

Phương trình mũ [Lần 2]

Bài 1. Giải phương trình: {4}^{x}+{4}^{\frac{1}{x}}=18


Với x <0 thì phương trình đã cho không thể có nghiệm trên miền đó .
Xét với x>0 : f(x)=4^x+4^\frac{1}{x} ta có :
+) f'(x)=\ln4\left(4^x-\dfrac{4^{\frac{1}{x}}}{x^2}\right)
+) f''(x)=4^x\ln^24+\dfrac{4^{\frac{1}{x}}\ln4}{x^4}+\dfrac{2^{\frac{x+2}{x}}}{x^3}>0
Vậy phương trình đã cho có tối đa hai nghiệm trên miền (0;+\infty).
Dễ thấy f(2)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=18.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : \left[\begin{array} x=2\\x=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.


Bài 2. Giải phương trình: 4^x+5^x=3^x+6^x


Phương trình đã cho tương đương với:
\begin{array}{l}  f\left( x \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} - {2^x} = 1 \\  f'\left( x \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x}.\ln \frac{4}{3} + {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x}.\ln \frac{5}{3} - {2^x}.\ln 2 \\  f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.\ln \frac{4}{3} + {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x}.\ln \frac{5}{3} = \ln 2 \\  g'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.\ln \frac{4}{3}.\ln \frac{2}{3} + {\left( {\frac{5}{6}} \right)^x}.\ln \frac{5}{3}.\ln \frac{5}{6} < 0,\,\,\forall x \in R. \\  \end{array}
Suy ra phương trình \ f'(x)=0 có tối đa 1 nghiệm, dẫn đến phương trình \ f(x)=0 có tối đa 2 nghiệm, mà ta thấy \ x=0\ x=1 là hai nghiệm của phương trình \ f(x)=0.
Do đó phương trình đã cho có các nghiệm là \ x=0 ; x=1.


Bài 3. Giải phương trình: \sqrt{{{2}^{{{x}^{2}}+2x-10}}}={{\left( \sqrt{33+\sqrt{128}}-1 \right)}^{x}}


Phương trình đã cho tương đương:
2^{\frac{x^2}{2}+x-5}=(4\sqrt{2})^x \Leftrightarrow 2^{\frac{x^2}{2}+x-5}=2^{\frac{5x}{2}}
\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{2}+x-5=\dfrac{5x}{2} \Leftrightarrow x^2-3x-10=0 \Leftrightarrow x=5;x=-2


Bài 4. Giải phương trình: 3^x+3^{\frac{1}{x}}=\frac{78}{9-\sqrt{3}}


Ta có thể viết phương trình thành : 3^x+3^{\textstyle \frac{1}{x}}=3+\sqrt{3}Nhận xét rằng khi : x<0 thì 3^x+3^{\textstyle \frac{1}{x}}<2<3+\sqrt{3}. Suy ra phương trình vô nghiệm
Vậy ta chỉ xét x>0. Xét hàm số : f(x)=3^x+3^{\textstyle \frac{1}{x}},\ x>0.
Ta có f'(x)=3^x\ln 3-\frac{1}{x^2}\cdot3^{\textstyle\frac{1}{x}}\ln 3,\ f''(x)=3^x\ln^2 3+\frac{2}{x^3}\cdot3^{\textstyle \frac{1}{x}}\ln 3+\frac{1}{x^4}\cdot3^{\textstyle \frac{1}{x}}\ln^2 3>0,\ \forall x>0Từ đây bằng cách lập bảng biến thiên, ta chỉ được rằng phương trình f(x)=3+\sqrt{3} có nhiều nhất 2 nghiệm.
Nhận xét x=2, x=\frac{1}{2} thỏa mãn phương trình nên đi đến kết luận phương trình chỉ có hai nghiệm như trên.


Bài 5. Giải phương trình 4.{2}^{3x}-3.{2}^{x}=\sqrt{1-{2}^{2x+2}+{2}^{4x+2}}


Phương trình đã cho tương đương 16.2^{6x}+9.2^{2x}-24.2^{4x}=1-4.2^{2x}+4.2^{4x} \ ( * )
Đặt t=2^{2x} với t>0 ta có
( * ) \Leftrightarrow 16t^3-18t^2+13t-1=0 \Leftrightarrow (t-1)(16t^2-12t+1)=0




Chia sẻ
  • Share to Facebook
  • Share to Twitter
  • Share to Google+
  • Share to Stumble Upon
  • Share to Evernote
  • Share to Blogger
  • Share to Email
  • Share to Yahoo Messenger
  • More...

0 nhận xét

:) :-) :)) =)) :( :-( :(( :d :-d @-) :p :o :>) (o) [-( :-? (p) :-s (m) 8-) :-t :-b b-( :-# =p~ :-$ (b) (f) x-) (k) (h) (c) cheer

 
© 2011 ThựcHành.vn
Designed by Nguoithay.vn Cooperated with Duy Pham
Phiên bản chạy thử nghiệm
Theo dõi bài viếtTheo dõi nhận xét
Lên đầu trang