Tích phân [Lần 10]

Bài 1. Tính tích phân $I = \displaystyle \int\limits_1^2 \dfrac{2x^3 + x^2 -1}{x (x^3 +x^2 - x +1)}dx$

Ta có  : $2x^3 +x^2 -1 =-2(x^3+x^2-x+1) + (4x^3+3x^2-2x+1)$
Mặt khác ta có : $x(x^3+x^2-x+1)=x^4+x^3-x^2+x \Rightarrow (x^4+x^3-x^2+x)' = 4x^3+3x^2-2x+1$
Vậy tích phân : $I= \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{-2}{x}dx + \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{d(x^4+x^3-x^2+1)}{x^4+x^3-x^2+1}$
Từ đó ta có $I = \left. -2\ln x \right|_{1}^{2} + \left. \ln (x^4+x^3-x^2+1) \right|_{1}^{2}= \ln \dfrac{21}{8}$

Bài 2. Tính tích phân $$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\dfrac{\cos 2x}{(\sin x+\cos x+2)^3}}dx$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\cos 2x}{(\sin x+\cos x+2)^3}\mbox{dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(\sin x+\cos x+2)^3}\mbox{dx}$$
Đặt $\sin x+\cos x=t\Rightarrow (\cos x-\sin x)dx=dt$
Đến đây các bạn đổi cận và được tích phân dạng như sau
$$\int_{a}^{b}\frac{t\mbox{dt}}{(t+2)^3}=\int_{a}^{b}\frac {t+2-2}{(t+2)^3}\mbox{dt}$$

Bài 3. Tính tích phân : $$I=\int_{-\pi/4}^{0}\frac{\tan^2 x}{\cos x.\cos(x+\frac{\pi}{4})}dx$$

$I=\int_{-\pi /4}^{0}{\dfrac{{{\tan }^{2}}x}{\cos x.\cos (x+\dfrac{\pi }{4})}}dx=\int_{-\pi /4}^{0}{\dfrac{{{\tan }^{2}}x}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x\left( \cos x-\sin x \right)}dx}=\sqrt{2}\int_{-\pi /4}^{0}{\dfrac{{{\tan }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x\left( 1-\tan x \right)}dx}$
Đặt $t=\tan x\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{{{\cos }^{2}}x}$
Đổi cận: $x=-\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow t=-1;x=0\Rightarrow t=0$
Ta có:
$\begin{align}   & I=\sqrt{2}\int_{-1}^{0}{\dfrac{{{t}^{2}}}{1-t}dt}=\sqrt{2}\int_{-1}^{0}{\left( -t-1-\dfrac{1}{t-1} \right)dt}=\sqrt{2}\left. \left( \dfrac{-{{t}^{2}}}{2}-t-\ln \left| t-1 \right| \right) \right|_{-1}^{0} \\  & =\sqrt{2}\left( \ln 2-\dfrac{1}{2} \right) \end{align}$

Bài 4. Tính tích phân: $$\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{e^{2x}  + 3e^x }}{{e^{2x}  + 3e^x  + 2}}} dx$$

Đặt $t=e^x$ ta đi đến tính tích phân $$\int\limits_1^{2} {\frac{{t^{2} + 3}}{{t^{2}  + 3t  + 2}}} dt$$
Sau đó dùng phép chia đa thức để giải tiếp.

Bài 5. Tính tích phân: $$I= \displaystyle \int_{1}^{2}\frac{2}{x^3 +2x}\, dx$$

Ta có:
$$\int_{1}^{2}\frac{2}{x^3 +2x} dx=\int_{1}^{2}\frac{2}{x(x^2 +2)} dx=\int_{1}^{2}\frac{2x}{x^2(x^2 +2)} dx=\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2(x^2 +2} dx^2$$ $$=\dfrac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2(x^2 +2} dx^2-\dfrac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2(x^2 +2} dx^2$$ $$=\dfrac{1}{2}\left(\ln|x^2|-\ln|x^2+2|\right)\bigg|_1^2$$ $$\dfrac{1}{2}\ln \bigg|\dfrac{x^2}{x^2+2}\bigg|\bigg|_1^2$$