Tích phân [Lần 9]

Bài 1. Tính tích phân: $$I = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)^2 }}} dx$$

Lời giải:
$$\left\{\begin{matrix} u=ln(x+1) & \\ dv=\dfrac{1}{{(x+2)}^2}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\dfrac{1}{x+1} & \\ v=\dfrac{-1}{x+2} & \end{matrix}\right.$$
$$\Rightarrow I=\dfrac{-ln(x+1)}{x+2}/+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{(x+2)(x+1)}dx =\dfrac{-ln(x+1)}{x+2}+ln(\dfrac{x+1}{x+2})$$

Bài 2. Tính tích phân: $$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x.dx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}}$$

Đặt $t=\sin x,$ ta có $\mathrm{d} t = \cos x \mathrm{d} x$ và $$3+4\sin x -\cos 2x=3+4\sin x -(1-2\sin^2 x)=2+4\sin x +2\sin^2x =2(1+\sin x)^2=2(1+t)^2.$$ Ngoài ra, theo phép đặt ta cũng có:
[LIST]
[*] Với $x=0$ thì $t=0.$
[*] Với $x=\frac{\pi}{2}$ thì $t=1.$
[/LIST]
Do đó, $$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x \mathrm{d} x}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}} =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2\sin x\cos x\mathrm{d} x}{ 3+4\sin x-\cos 2x} =\int \limits_{0}^1 \frac{2t\mathrm{d}t}{2(1+t)^2} =\int\limits_{0}^1 \left[\frac{1}{1+t}-\frac{1}{(1+t)^2}\right]\mathrm{d} t.$$

Bài 3. Tính tích phân $$\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\mbox{dx}}{\sqrt{\sin x\cos^ 3x}}$$

Nếu đặt $t = \tan x$, ta sẽ được $dx = \dfrac{dt}{1+t^2}$, biến đổi tích phân đầu bài thành $$\begin{aligned} I &= \displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/4} \dfrac{1}{\sqrt{\tan x}} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} \, dx \\&= \displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/4} \dfrac{\tan^2 x + 1}{\sqrt{\tan x}} \, dx \\&= \displaystyle \int_{1/\sqrt{3}}^{1} \dfrac{t^2+1}{\sqrt{t}} \cdot \dfrac{dt}{t^2+1} \\&= 2 - \dfrac{2}{\sqrt[4]{3}} \end{aligned}$$

Bài 4. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{2+\sin x}\mbox{dx}$$

Tích phân cần tính viết lại như sau:
$$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{2+\sin x}\mbox{dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left(1-\dfrac{2}{\sin x+2}\right)\mbox{dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\mbox{dx}-2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{1}{\sin x+2}\mbox{dx}$$ Ta đi tính tích phân: $$J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{1}{\sin x+2}\mbox{dx}$$ Đặt $t=\tan \frac{x}{2}$. Đổi cận : $x=0$  có $t=0$ và     $x=\dfrac{\pi}{2}$  có $t=1$.
Khi đó: $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ và $\mbox{dt}=\dfrac{1+t^2}{2}\mbox{dx}\Rightarrow \mbox{dx}=\dfrac{2\mbox{dt}}{1+t^2}$
Vậy $$J=\int_{0}^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{\sin x+2}\mbox{dx}=\int_0^1\dfrac{\mbox{dt}}{t^2+t+1}$$ [HINT]Đặt $\dfrac{\sqrt3}{2}\tan u=(t+\dfrac{1}{2})$

Bài 5. Tính tích phân $$I_2=\displaystyle \int^{2}_{1} \frac{dx}{7x^2-4x+3}$$

Ta viết : $$\dfrac{1}{7x^2-4x+3}=\dfrac{1}{7}\dfrac{1}{\left(x-\dfrac{2}{7}\right)^2+\dfrac{17}{49}}$$ Đến đây thì đặt : $\left(x-\dfrac{2}{7}\right)=\dfrac{\sqrt{17}}{7}\tan t$ Nhưng đến đây thì đổi cận rất lẻ và không tốt cho tính toán .
Tổng quát thì : $$\displaystyle \int\limits_{\alpha}^{\beta} \dfrac{dx}{x^2+a^2}$$ Thì ta đặt $x=a\tan t\hspace{1cm} t\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ khi đó  $dx=(1+t^2)dt$ và $1+\tan^2t=\dfrac{1}{\cos^2t}$ công việc còn lại là đổi cận rồi thay vào để thu được tích phân mới dễ tính.