Tích phân [Lần 8]

Bài 1. Tính tích phân: $$I=\displaystyle \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos ^3x}{\sqrt[5]{\sin x}}dx$$

Đặt $t=\sqrt[5]{\sin x} \Rightarrow t^5=\sin x$
Từ đó ta có: $5t^4dt=\cos xdx$ và đổi cận ta được.
$$I=\displaystyle 5\int_{\dfrac{1 }{\sqrt[5]{2}}}^{1} (1-t^{10})t^3dt=5\Bigg(\dfrac{1}{4}t^4-\dfrac{1}{14}t^{14}\Bigg)\Bigg|_{\dfrac{1 }{\sqrt[5]{2}}}^{1}$$

Bài 2. Tính tích phân  $$I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^3(3x+1)}}$$

$$I=\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{(x+1)^3(3x+1)}}= \int_{0}^{1} \dfrac{dx}{(x+1)^2\sqrt{\dfrac{3x+1}{x+1}}}$$

Đặt $t=\sqrt{\dfrac{3x+1}{x+1}}$ suy ra $tdt=\dfrac{dx}{(x+1)^2}$
Đổi cận và ta có:
$$I=\int_{1}^{\sqrt{2}} dt=\sqrt{2}-1$$

Bài 3. Tính tích phân: $$I=\int\limits_0^1 {\left[ {(2x - 1)(2x - 3) + 2} \right]e^{x^2  - 3x} dx}$$

Ta có:  $\,\,I = \int\limits_0^1 {(2x - 1)(2x - 3)e^{x^2  - 3x} dx + } \int\limits_0^1 {2e^{x^2  - 3x} dx}$
Tích phân từng phần với $u=2x-1$ và $dv = (2x - 3)e^{x^2  - 3x} dx$ ta được:
$I = \left. {(2x - 1)e^{x^2  - 3x} } \right|_0^1  - \int\limits_0^1 {2e^{x^2  - 3x} dx}  + \int\limits_0^1 {2e^{x^2  - 3x} dx}  = \left. {(2x - 1)e^{x^2  - 3x} } \right|_0^1$

Bài 4. Tính tích phân: $$I=\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x^2  + 1} .\left( {x + \sqrt {x^2  + 1} } \right)}}}$$

Ta có : $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}+x)}=\dfrac{ \sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}$
Lúc này thì : $$\displaystyle I=\int\limits_{0}^{1}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx=(x-\sqrt{x^2+1})\big|_0^{1}=2-\sqrt{2}$$

Bài 5. Tính tích phân: $$\int\limits_1^e {\frac{{x\ln x}}{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }}} dx$$

Lời giải:
$$\left\{\begin{matrix} u=lnx & \\ dv=\dfrac{x}{{(x^2+1)}^2}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\dfrac{1}{x}dx & \\ v=\dfrac{-1}{2(x^2+1)}& \end{matrix}\right.$$
$$\Rightarrow I=\dfrac{-lnx}{2(x^2+1)}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{dx}{x(x^2+1)} =\dfrac{-lnx}{2(x^2+1)}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{e}(\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^2+1})dx =\dfrac{-lnx}{2(x^2+1)}+\dfrac{lnx}{2}-\dfrac{ln(x^2+1)}{4}$$